Comment faire de la division euclidienne avec Python ?
Imaginons un magasin vendant des articles en paquets. Vous en tant que propriétaire souhaitez gérer votre stock de manière efficace et s’assurer de ne jamais manquer de produits. Pour ce faire, vous devez connaître le nombre exact de paquets qu’il faut commander pour répondre à la demande des clients.
Vous recevez des commandes de clients en unités individuelles, mais les articles sont stockés et achetés par paquets. Il est donc nécessaire de déterminer le nombre de paquets à commander en fonction du nombre d’unités commandées par les clients, tout en tenant compte des paquets déjà en stock.
Si vous maîtrisez la division euclidienne avec Python, sachez que celle-ci est la meilleure solution à ce problème ! La division euclidienne vous offre la possibilité de déterminer le quotient (nombre de paquets à commander) et le reste (nombre d’unités restantes) d’une division entière.
Mais comment faire la division euclidienne avec le langage de programmation informatique généraliste Python ? Vous le saurez dans cet article !
Qu’est-ce que la division euclidienne ?
Avant de parler du fonctionnement de la division euclidienne avec python, il convient d’abord de définir ce qu’est, pour ceux qui ne la connaissent pas encore.
La division euclidienne est une opération mathématique qui permet de diviser un nombre entier (dividende) par un autre nombre entier (diviseur) et d’obtenir deux résultats : le quotient et le reste. Le quotient fait référence au nombre de fois que le diviseur peut être « retiré » du dividende sans qu’il ne reste rien. Le reste, en ce qui le concerne, est la quantité qui ne peut pas être divisée par le diviseur.
En langage mathématique, la division euclidienne de a par b (notée a eucdiv b) s’exprime par :
➡️ a = b × q + r
➡️ 0 ≤ r < |b|
Où :
a est le dividende
b est le diviseur
q est le quotient
r est le reste
En d’autres termes, on cherche à décomposer a en une somme d’un multiple exact de b (représenté par b × q) et d’un reste r qui est toujours plus petit que la valeur absolue de b.
Illustration par un exemple :
Soit la division euclidienne de 58 par 7. En appliquant la procédure, on trouve que :
q = 8, car 7 × 8 = 56, ce qui est la plus grande valeur multiple de 7 inférieure ou égale à 58.
r = 2, car 58 – 56 = 2.
➡️ Ainsi, la division euclidienne de 58 par 7 est 8 avec un reste de 2.
Cas pratiques de la division euclidienne
Pour ces cas pratiques, nous n’allons pas utiliser le langage de programmation python pour la division euclidienne ni un autre langage de programmation pour plus de clarté. Nous allons d’abord nous conter d’illustrer tout cela avec de simples calculs arithmétiques
Exemple n 1 de cas résolu pour la division euclidienne :
Problème: Vous êtes au marché et vous avez 230 francs. Vous voulez acheter des oranges qui coûtent 5 francs pièce. Combien d’oranges pouvez-vous acheter avec votre argent et combien vous restera-t-il ?
Résolution :
Division euclidienne :
a) Dividende : 230 francs (argent disponible)
b) Diviseur : 5 francs (prix d’une orange)
On effectue la division euclidienne :
230 ÷ 5 = 46 (nombre d’oranges entières que vous pouvez acheter)
reste = 0 (argent restant)
Interprétation du résultat :
Vous pouvez acheter 46 oranges. Il vous restera 0 franc après l’achat.
La division euclidienne offre dans cet exemple la possibilité de déterminer le nombre maximum d’oranges que vous pouvez acheter avec votre argent (46) en divisant le montant total (230 francs) par le prix d’une orange (5 francs). Le reste (0 franc) indique qu’il ne vous restera plus d’argent après l’achat.
La division euclidienne trouve son utilité dans de nombreux domaines, allant du partage équitable de ressources aux problèmes mathématiques complexes.
Exemple n 2 de cas résolu par la division euclidienne :
Problème : Vous avez une tarte que vous voulez couper en parts égales pour 8 personnes. Combien de degrés doit mesurer chaque angle de coupe ?
Résolution:
Division euclidienne :
a) Dividende: 360 degrés (angle total de la tarte)
b) Diviseur: 8 (nombre de parts)
On effectue la division euclidienne :
360 ÷ 8 = 45 (angle de chaque part)
reste = 0 (pas de reste, indiquant une répartition équitable)
Interprétation du résultat :
Chaque angle de coupe doit mesurer 45 degrés pour une répartition équitable entre 8 personnes. En divisant l’angle total de la tarte (360 degrés) par le nombre de parts (8), on obtient l’angle de chaque part (45 degrés) nécessaire pour une distribution équitable. Le reste nul confirme que la répartition est exacte.
Ces exemples démontrent la simplicité et l’utilité de la division euclidienne dans la résolution de problèmes concrets du quotidien.
Les applications de la division euclidienne
La division euclidienne a de nombreuses applications concrètes dans divers domaines, notamment :
1. Mathématiques
Calcul du PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) :
- Simplifier des fractions.
- Résoudre des équations diophantiennes.
- Vérifier la divisibilité d’un nombre par un autre.
- Implémenter des algorithmes de cryptographie.
Géométrie algorithmique :
- Déterminer l’intersection de deux droites.
- Vérifier si un point appartient à un triangle.
- Calculer l’aire d’un polygone.
Théorie des nombres :
- Étudier les propriétés des nombres entiers.
- Démontrer des théorèmes mathématiques.
- Générer des nombres aléatoires.
2. Informatique
Algorithmes de tri :
- Tri par dichotomie.
- Tri par fusion.
Compression de données :
- Algorithme de Huffman.
Cryptographie :
- Générer et vérifier des signatures numériques.
- Implémenter des algorithmes de chiffrement à clé publique.
Graphes :
- Algorithme de recherche en profondeur (DFS).
- Algorithme de recherche en largeur (BFS).
Systèmes embarqués :
- Optimisation du code pour les microcontrôleurs.
3. Vie quotidienne
Partage équitable de ressources :
- Couper un gâteau en parts égales.
- Répartir des bonbons entre des enfants.
Gestion du temps :
- Déterminer le nombre d’heures restantes dans une journée.
- Calculer le temps nécessaire pour accomplir une tâche.
Cuisine :
- Convertir des mesures de volume (ex: tasses en millilitres).
- Ajuster des recettes pour un nombre de personnes différent.
Voyages :
- Estimer la distance parcourue en fonction de la vitesse et du temps.
- Convertir des unités de distance (ex: kilomètres en miles).
4. Professionnel
Ingénierie :
- Calculer la charge admissible d’un pont.
- Déterminer la taille d’un engrenage.
Finance :
- Calculer les intérêts d’un prêt.
- Convertir des devises.
Science :
- Analyser des données expérimentales.
- Modéliser des phénomènes physiques.
Art et design :
- Créer des motifs géométriques.
- Déterminer des proportions harmonieuses.
Musique :
- Accorder des instruments de musique.
- Composer des mélodies.
En arithmétique :
- Trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres.
- Simplifier des fractions.
- Effectuer des conversions d’unités.
En cryptographie :
- Générer et vérifier des signatures numériques.
- Implémenter des algorithmes de chiffrement à clé publique.
En informatique théorique :
- Déterminer la complexité des algorithmes.
- Vérifier la correction des programmes.
En science et en ingénierie :
- Calculer des trajectoires de projectiles.
- Concevoir des circuits électroniques.
- Gérer des systèmes de communication.
Pourquoi faire de la division euclidienne avec Python ?
1. Pourquoi ne pas faire la division euclidienne manuellement tout simplement ?
Tout simplement, cette méthode est sujette à erreur, surtout pour les nombres entiers importants. En effet, elle implique de répéter des soustractions et des comparaisons jusqu’à ce que le diviseur soit supérieur au dividende.
De plus, pour que la division euclidienne puisse être implémentée dans un algorithme complexe ou n’importe quel outil, le calcul manuel n’a plus raison d‘être.
2. Pourquoi le faire avec Python ?
Python offre plusieurs avantages pour effectuer la division euclidienne :
✅ Simplicité : la syntaxe de Python est simple et intuitive, ce qui facilite l’écriture de code clair et concis pour la division euclidienne.
✅ Bibliothèques : Python propose des bibliothèques mathématiques standard, comme math, qui incluent des fonctions pour effectuer la division euclidienne et d’autres opérations mathématiques.
3. Pourquoi ne pas le faire avec d’autres langages de programmation ?
Bien que d’autres langages de programmation puissent également être utilisés pour effectuer la division euclidienne, Python présente des avantages particuliers qui en font un choix populaire pour cette tâche.
La simplicité, la lisibilité, les bibliothèques et les outils de développement de Python le rendent plus accessible et plus efficace pour les débutants et les programmeurs expérimentés.
Cependant, d’autres langages peuvent être mieux adaptés à des cas spécifiques. Par exemple, un langage de programmation compilé comme C++ peut offrir de meilleures performances pour les applications nécessitant une exécution rapide.
Autres langages pour la division euclidienne :
➡️ C/C++ : Langages de programmation compilés offrant des performances élevées pour les applications nécessitant une exécution rapide.
➡️ Java : Langage de programmation polyvalent avec une large communauté d’utilisateurs et de nombreuses bibliothèques disponibles.
➡️ JavaScript : Langage de programmation populaire pour le développement Web, pouvant également être utilisé pour des applications côté serveur.
➡️ R : Langage de programmation spécialisé dans l’analyse statistique et le traitement de données.
Le choix du langage de programmation dépend des besoins spécifiques de l’application et des préférences du développeur.
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La division euclidienne avec Python : les méthodes simples !
Il existe deux méthodes principales pour effectuer une division euclidienne en Python :
1. Opérateurs // et %
Python fournit deux opérateurs spécifiques pour la division euclidienne :
//: Divise deux nombres entiers et renvoie le quotient.%: Renvoie le reste de la division euclidienne.
Exemple :
dividende = 55
diviseur = 7
quotient = dividende // diviseur
reste = dividende % diviseur
print("Quotient :", quotient)
print("Reste :", reste)Sortie :
Quotient : 7
Reste : 62. Fonction divmod()
La fonction divmod() de la bibliothèque standard math retourne un tuple contenant le quotient et le reste de la division euclidienne.
Exemple :
import math
dividende = 55
diviseur = 7
resultat = divmod(dividende, diviseur)
quotient, reste = resultat
print("Quotient :", quotient)
print("Reste :", reste)Sortie :
Quotient : 7
Reste : 6Le choix entre les deux méthodes dépend de vos préférences et de vos besoins spécifiques.
Les opérateurs // et % sont plus concis et faciles à lire, mais la fonction divmod() offre plus de flexibilité, car elle renvoie le résultat sous forme de tuple
Division euclidienne avec Python : Cas pratique commercial
Problème concret : Calcul du nombre de lots de produits à commander
Imaginez que vous gérez un magasin et que vous souhaitez commander un produit auprès d’un fournisseur. Le fournisseur propose des réductions en fonction de la quantité commandée. Votre objectif est de déterminer le nombre de lots à commander pour maximiser vos profits en tenant compte des coûts d’achat et des réductions.
Données du problème :
- Prix d’achat par unité : 10€
- Coût de commande par lot : 5€
- Quantité minimale par lot pour bénéficier d’une réduction : 100 unités
- Taux de réduction pour les commandes de 100 unités ou plus : 10%
- Besoin total en unités : 550 unités
Solution en Python (Fonction divmod())
prix_unitaire = 10 # Prix d'achat par unité
cout_lot = 5 # Coût de commande par lot
quantite_min_lot = 100 # Quantité minimale par lot pour la réduction
taux_reduction = 0.1 # Taux de réduction (en décimal)
besoin_total = 550 # Besoin total en unités
# Calcul du nombre de lots entiers sans réduction
lots_sans_reduction, unites_restantes = divmod(besoin_total, quantite_min_lot)
# Calcul du prix total sans réduction
prix_sans_reduction = lots_sans_reduction * prix_unitaire + lots_sans_reduction * cout_lot
# Calcul du prix total avec réduction pour les lots suivants
if unites_restantes > 0:
prix_avec_reduction = (unites_restantes * (prix_unitaire * (1 - taux_reduction))) + cout_lot
else:
prix_avec_reduction = 0
# Détermination du nombre de lots optimal
if prix_avec_reduction < prix_sans_reduction:
lots_optimaux = lots_sans_reduction + 1
prix_total_optimal = prix_avec_reduction
else:
lots_optimaux = lots_sans_reduction
prix_total_optimal = prix_sans_reduction
print(f"Nombre de lots optimaux :", lots_optimaux)
print(f"Prix total optimal :", prix_total_optimal)Explication du code :
- On définit les variables représentant les coûts, les réductions et le besoin total.
- On calcule le nombre de lots entiers sans réduction (
lots_sans_reduction) et le nombre d’unités restantes (unites_restantes) en utilisant la fonctiondivmod(). - On calcule le prix total sans réduction (
prix_sans_reduction) en prenant en compte le prix unitaire, le coût des lots et le nombre de lots sans réduction. - On vérifie s’il y a des unités restantes. Si oui, on calcule le prix total avec réduction (
prix_avec_reduction) pour les lots suivants, en tenant compte du taux de réduction. - On compare le prix total avec et sans réduction pour déterminer le nombre de lots optimal (
lots_optimaux) et le prix total optimal (prix_total_optimal).
Analyse du résultat
Dans cet exemple, avec un besoin total de 550 unités, le nombre de lots optimaux est de 6. Le prix total optimal est de 555€, ce qui représente une économie de 5€ par rapport à la commande sans réduction.
Remarques
- Si vous le souhaitez, vous pouvez étendre ce modèle pour inclure des scénarios plus complexes avec des réductions variables en fonction de la quantité commandée.
- Il est important de prendre en compte les coûts d’entreposage et de stockage lors de l’optimisation des commandes.
- L’analyse de données historiques des ventes aide à affiner le modèle et à prendre des décisions d’achat plus précises.
D’autres langages pour faire de la division euclidienne (en plus de Python)
La division euclidienne est une opération mathématique fondamentale qui permet de diviser deux nombres entiers et d’obtenir deux résultats : le quotient et le reste. Le quotient représente le nombre de fois que le diviseur peut être soustrait du dividende sans dépasser ce dernier, tandis que le reste représente la quantité restante après ces soustractions.
En Python, la division euclidienne peut être réalisée à l’aide de l’opérateur //. Cependant, de nombreux autres langages de programmation proposent également des fonctionnalités pour effectuer cette opération. Voici quelques exemples :
1. C et C++
Le langage C utilise l’opérateur % pour obtenir le reste de la division euclidienne. Le quotient peut être obtenu en divisant les deux nombres entiers et en tronquant le résultat vers le bas (par exemple, a / b).
La bibliothèque standard C++ offre la fonction std::div() qui retourne un objet std::div_t contenant à la fois le quotient et le reste.
2. Java
En Java, l’opérateur % permet d’obtenir le reste de la division euclidienne. Le quotient peut être obtenu en utilisant la méthode Math.floorDiv(a, b) de la classe Math.
3. JavaScript
JavaScript utilise l’opérateur % pour obtenir le reste de la division euclidienne. Le quotient peut être obtenu en utilisant l’opérateur de division / et en tronquant le résultat vers le bas (par exemple, Math.floor(a / b)).
4. Go
Le langage Go utilise l’opérateur % pour obtenir le reste de la division euclidienne. Le quotient peut être obtenu en divisant les deux nombres entiers et en tronquant le résultat vers le bas (par exemple, a / b).
5. R
Le langage R propose la fonction floor() pour obtenir le quotient de la division euclidienne. Le reste peut être obtenu en utilisant l’opérateur % (par exemple, a % b).
6. MATLAB
MATLAB offre la fonction floor() pour obtenir le quotient de la division euclidienne. Le reste peut être obtenu en utilisant l’opérateur mod (par exemple, mod(a, b)).
Conclusion
Même si la plupart d’entre nous l’ignorent, exceptés ceux dans l’informatique ou les mathématiques, la division euclidienne s’avère finalement être un outil mathématique fondamental et qui trouve ses applications dans de nombreux domaines. Et Python offre une plateforme idéale pour la mettre en pratique. En exploitant les opérateurs // et %, la résolution de problèmes de divisibilité et la détermination de restes deviennent des opérations simples et intuitives.
L’apprentissage de cette technique en Python présente de nombreux avantages. Son accessibilité et sa syntaxe claire en font un langage idéal pour les débutants. De plus, la puissance et la polyvalence de Python permettent d’étendre l’application de la division euclidienne à des domaines plus complexes, comme la cryptographie ou l’algorithmique.
